Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Suma $3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 1 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

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Paso 1.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - λ) - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.1

Expande $(2 - λ) (4 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ (4 - λ) - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$p (λ) = 8 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.2.2

Resta $4 λ$ de $- 2 λ$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3$

Paso 1.5.2.2

Resta $3$ de $8$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 5$

Paso 1.5.2.3

Reordena $- 6 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 5$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - 6 λ + 5 = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Factoriza $λ^{2} - 6 λ + 5$ con el método AC.

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Paso 1.7.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 1.7.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(λ - 5) (λ - 1) = 0$

Paso 1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

$λ - 1 = 0$

Paso 1.7.3

Establece $λ - 5$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.3.1

Establece $λ - 5$ igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

Paso 1.7.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 5$

Paso 1.7.4

Establece $λ - 1$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.4.1

Establece $λ - 1$ igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Paso 1.7.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 1$

Paso 1.7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(λ - 5) (λ - 1) = 0$ verdadera.

$λ = 5, 1$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $- 5$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 2 - 5 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

Paso 3.2.3

Simplify each element.

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Paso 3.2.3.1

Resta $5$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

Paso 3.2.3.2

Suma $3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 \\ 1 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

Paso 3.2.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 \\ 1 & 4 - 5 \end{array}]$

Paso 3.2.3.4

Resta $5$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = 5$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Resta los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 2 - 1 & 3 - 0 \\ 1 - 0 & 4 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Simplify each element.

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Paso 4.2.2.1

Resta $1$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 - 0 \\ 1 - 0 & 4 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.2

Resta $0$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 - 0 & 4 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.3

Resta $0$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.4

Resta $1$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 1 - 1 & 3 - 3 & 0 - 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 3 y = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 y \\ y \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}]}$